一元一次方程式とは何か【基本概念と解き方】

一元一次方程式の定義

一元一次方程式とは、1つの未知数(変数)を含み、その変数の最高次数が1である方程式のことです。一般的な形は次のように表されます。

$$ax + b = 0$$

ここで、

• $x$ は未知数(変数)
• $a$ は0でない係数
• $b$ は定数

例えば、$3x + 5 = 0$ や $-2x + 7 = 3$ などが一元一次方程式に該当します。一次方程式の「一次」は、変数 $x$ の最高次数が1であることを意味します。

一元一次方程式の解き方

基本的な解法

一元一次方程式は、移項や両辺の除算を行うことで簡単に解くことができます。

例1:単純な一元一次方程式

$$3x + 5 = 0$$

この方程式を解く手順は次の通りです。

1. 定数項を移項

   $$3x = -5$$

2. 係数で割る

   $$x = \frac{-5}{3}$$

したがって、解は $x = -\frac{5}{3}$ となります。

例2:両辺に数がある場合

$$5x – 2 = 3x + 6$$

1. 変数を一方にまとめる

   $$5x – 3x = 6 + 2$$ $$2x = 8$$

2. 係数で割る

   $$x = \frac{8}{2} = 4$$

解は $x = 4$ です。

分数や小数を含む場合

例3:分数を含む場合

$$\frac{2}{3}x + 5 = 7$$

1. 定数項を移項

   $$\frac{2}{3}x = 7 – 5$$ $$\frac{2}{3}x = 2$$

2. 係数の逆数を掛ける

   $$x = 2 \times \frac{3}{2}$$ $$x = 3$$

解は $x = 3$ です。

例4:小数を含む場合

$$0.5x – 1.2 = 2.8$$

1. 定数項を移項

   $$0.5x = 2.8 + 1.2$$ $$0.5x = 4$$

2. 係数で割る

   $$x = \frac{4}{0.5} = 8$$

解は $x = 8$ です。

一元一次方程式の応用

速さ・時間・距離の問題

一元一次方程式は、日常生活のさまざまな問題を解くのに役立ちます。例えば、速さ・時間・距離の関係を利用する問題があります。

例:ある人が時速4kmで歩き、目的地まで2時間かかった。この距離を求める。

速さ・時間・距離の関係式は以下の通りです。

$$\text{距離} = \text{速さ} \times \text{時間}$$

この場合、距離を $x$ とすると、

$$x = 4 \times 2$$ $$x = 8$$

したがって、目的地までの距離は8kmです。

割合の問題

例:ある商品が20%の値引き後に1600円になった。元の価格を求める。

元の価格を $x$ とすると、20%引き後の価格は

$$x – 0.2x = 1600$$ $$0.8x = 1600$$ $$x = \frac{1600}{0.8} = 2000$$

したがって、元の価格は2000円です。

一元一次方程式の特別なケース

解がない場合(矛盾する方程式)

方程式が矛盾する場合、解は存在しません。

例:

$$2x + 3 = 2x – 5$$

1. 変数を整理する

   $$2x – 2x = -5 – 3$$ $$0 = -8$$

このように、数学的に成り立たない式が出てきた場合、解なし(不適)となります。

無限に解がある場合(恒等式)

すべての $x$ に対して常に成り立つ場合、解は無限にあります。

例:

$$3(x – 2) = 3x – 6$$

1. 分配法則を適用する

   $$3x – 6 = 3x – 6$$

2. 両辺から $3x$ を引くと

   $$-6 = -6$$

これは常に成り立つため、$x$ の値に関係なく方程式は真となります。この場合、解は無数に存在します。

まとめ

一元一次方程式は、1つの未知数を含む方程式で、最高次数が1のものを指します。基本的な解法として、移項や係数の除算を用いることで簡単に解くことができます。

また、速さ・時間・距離の問題や割合の計算など、現実世界のさまざまな応用にも利用されています。さらに、解の存在についても、矛盾する場合は解なし、恒等式の場合は無限に解があることを理解しておくことが重要です。

一元一次方程式を理解することで、数学の基礎力を高めるとともに、実生活の問題を論理的に解決する力を養うことができます。